有些數學問題是常人完全不能理解的，譬如黎曼猜想（Riemann hypothesis）需要用到不少高等數學知識才能解釋；可是也有些問題是十歲小孩也能明白的。著名的孿生質數猜想（Twin Prime Conjecture；註一）絕對能被歸類為後者。它由Alphonse de Polignac 在19世紀提出，指世界上存在著無限多對相減之差為二的質數，而這些質數因此被稱為「孿生」質數（twin primes），例如3和5是一對孿生質數，71和73也是。當數字越來越大，質數出現的頻率越來越低。即使如此，我們也能找到一些大得驚人的孿生質數 [1]，現時紀錄是一對在十進制下有著388,342位的質數2996863034895 × 21290000 – 1和2996863034895 × 21290000 + 1。這不禁讓人猜想數字裡面可能包括無限對孿生質數，即是無論我們找到的孿生質數有多大，都總有一對會比它們大。
這猜想本身其實也沒什麼好說的，但是比較有趣的是近年在這個問題上作出突破所用的方法。大家對數學研究的印象可能是一位數學家坐在房間裡獨自與問題搏鬥，一直把自己鎖在房間裡直至找到解決方法為止。對孿生質數提出突破性理論的兩位數學家 — 張益唐和James MAYNARD的確都是分別獨自進行研究，可是另一方面的突破則來自一個公開的大型合作計劃 — 博學者計劃（Polymath Project）。
張益唐的人生故事絕對值得拍成一部電影。他在中國出生，文革期間和母親被送到勞改營，使其教育中斷長達八年 [2]。他之後到了美國研究院修讀博士學位，可惜最後和導師不歡而散。畢業後，張益唐在學術界找不到工作，結果到處做著零零散散的工作，包括曾經在朋友開的Subway三文治店裡做會計，直到1999年才在新罕布什爾大學裡擔任講師 [2]。在他取得突破之前，幾乎沒有人聽過他的名字，這使他具開創性的研究結果更為受人注目。此前，以及在其他數學家建基於他的結果作出更多發現之前，數學家並不知道兩個質數之間的差距（或間隙）最大可以有多大。不少人當然嘗試過著手解決這個問題，但是基本上都沒有進展。在2013年4月，張益唐出版了他的研究結果，論文裡指出在間隙小於7000萬之下存在著無限多個質數。7000萬是個很大的數字，但至少是一個有限的數字。這個消息令數學界為之一振，在掀起了一輪關注後，計劃「博學者八號難題（Polymath8）」正式誕生。
博學者計劃是一個由數學家Timothy GOWERS創立的大型數學合作計劃，最初在2009年於其網誌展開 [3]，建立計劃的時候會訂出研究的目標，然後由不同數學家在公開的網上討論中發表自己相關的研究結果，同心協力地使研究一步一步向目標推進。每個計劃通常都由一位數學家作為主辦人，並以自己的網誌作為計劃的討論區，任何對問題有見解的人都可以在討論中貢獻自己的想法 [4]，成果通常都以筆名D H J Polymath投稿到學術期刊。Polymath8是這個系列的第八個計劃，由可能是世界上最有名的數學家陶哲軒在2013年6月展開 [5]，計劃的目標是希望能夠對張益唐的研究結果加以改善，得出一個更準確的質數間隙。不少數學家都參與了這次計劃，當中喜訊一個接一個，間隙一天比一天減少，在2013年7月Polymath8暫時完結時已經降到4680 [6]。
更戲劇化的是，在同年11月，現時為牛津大學教授的James MAYNARD取得了新的突破。他當時只是剛完成博士課程不久，在完全沒有和張益唐或博學者計劃合作的情況下使用了一個截然不同的方法得出了600 這個最大間隙 [7]。如果Maynard能更早發表這個突破的話，登上報紙頭條的一定會是他，畢竟600比7000萬是一個更令人驚嘆的上限數字。Maynard的結果甚至比博學者計劃的更為準確，因此計劃的參與者開始把目光轉移到Maynard的新方法，希望可以得到更大的突破，甚至一舉解決孿生質數猜想的問題。
於是，他們決定延續上一個計劃，展開Polymath8b。這次計劃亦邀請得James MAYNARD參與，他們嘗試合力把上限再次降低，可惜卻遇到其他阻力。最後，雖然他們只能把上限再降低一點，但這已經算是十分鼓舞的成績了。在張益唐發表結果後一年的2014年4月，上限數字止住了在246；在假設另一條關於質數分佈的Elliott-Halberstam 猜想是正確的情況下，上限可以被降至6 （註二）[8, 9]。可是，如果要證明孿生質數猜想，我們要把上限降至2，因此我們必須發明新的方法才能使問題有所進展。
其實博學者計劃一直是數學研究裡面一個有趣的課題。由於這是任何人都能參與的開源（open-sourced）計劃，因此一切突破都來得很快，進展速度與通常只涉及幾個人的普通數學研究相比之下快得多。很多人曾經打過一個比喻，說如果普通研究是喝水杯裡的水的話，那麼博學者計劃就好比嘗試從消防喉裡喝水，因為突破湧現的速度可謂前所未見。另一方面，也有一些人會因抗拒在公開討論區發言而不願意參與，因為參加者犯過的所有錯誤都會永久地被留在互聯網上；也有人指計劃進展速度之快令人不能花上更長的時間反覆思考和消化結果，放慢步伐也許反而能得來更多成果 [10]。但問題是，在這速食文化通行的互聯網世紀，博學者計劃會不會是數學研究未來的趨勢呢？
這問題，也許要經過時間的洗禮才能解答。直到現時，博學者計劃都在解決一些能夠分拆成許多細小部分的數學問題，讓參與者可以分工完成不同部分，再把結果整合。不過，孿生質數猜想的故事告訴了我們一件事：突破可以來自大相逕庭的形式。從獨自與問題搏鬥數年的隱世數學家到大型數學智庫的光速突破，都能帶來各種各樣的新發現。世界上還有很多數學問題等著大家去探索和解答，可能有朝一日，親愛的讀者，你將會是解決那些難題的其中一人呢！
如果你對以上的數論有興趣，又學過一點大學數學的話，可以看一看陶哲軒的網誌（但是他寫的東西比較深，看不懂也不要緊！）： https://terrytao.wordpress.com/
博學者計劃的創辦人Timothy Gowers也有寫網誌，裡面有不少比較容易看懂的內容：https://gowers.wordpress.com/
為問題帶來重大突破的James MAYNARD也有在著名Youtube頻道Numberphile上和主持討論孿生質數猜想： https://youtu.be/QKHKD8bRAro
像以往一樣，就以一道小小的挑戰題完結本文，今次的問題與質數有關 [11]：
設n為大於或等於4的整數。
我們的目標是把數字1, 2, …, n 排成一個圓圈，令所有相鄰的數字加起來都是一個質數。譬如n = 4的話，我們可以用(1, 2, 3, 4) 這個組合：
可是，如果n是單數的話，排列就會變得不可行。為什麼？
（加分題：如果n + 1和n + 3為孿生質數，你可以就數字n 寫出一個排列方法嗎？）
答案︰http://sciencefocus.ust.hk/solution_020
註︰
- 猜想：還沒有得到證明的數學論述；如果猜想得到證明就會變成定理。
- 題外話：相減之差為六的質數對在英文被稱為「sexy primes（性感質數）」，就像孿生質數被稱為「twin primes」一樣，名字由來是因為「sex」在拉丁文中是代表「六」的前綴。在中文，「sexy primes」只是平平無其地被叫作「六質數」，並沒有任何幽默感可言。
參考資料︰
- Caldwell, C. K. (2021). The Largest Known Primes -- A Summary. Retrieved from https://primes.utm.edu/largest.html
- Wilkinson, A. (2015, February 2). The Pursuit of Beauty. The New Yorker. Retrieved from https://www.newyorker.com/magazine/2015/02/02/pursuit-beauty
- Gowers, W. T. (2009, March 24). Can Polymath be scaled up [Web log post]? Retrieved from https://gowers.wordpress.com/2009/03/24/can-polymath-be-scaled-up/
- Kalai, G. (2021, January 12). Proposals for polymath projects. Retrieved from https://mathoverflow.net/questions/219638/proposals-for-polymath-projects
-
Tao, T. (2014). Polymath8 | What’s New [Web log post]. Retrieved from
作者︰
蔡蒨珩
《科言》學生編輯
香港科技大學
設計︰
曾卓希
《科言》學生設計師
香港科技大學
2022年1月