有些数学问题是常人完全不能理解的，譬如黎曼猜想（Riemann hypothesis）需要用到不少高等数学知识才能解释；可是也有些问题是十岁小孩也能明白的。著名的孪生质数猜想（Twin Prime Conjecture；注一）绝对能被归类为后者。它由Alphonse de Polignac 在19世纪提出，指世界上存在着无限多对相减之差为二的质数，而这些质数因此被称为「孪生」质数（twin primes），例如3和5是一对孪生质数，71和73也是。当数字越来越大，质数出现的频率越来越低。即使如此，我们也能找到一些大得惊人的孪生质数 [1]，现时纪录是一对在十进制下有着388,342位的质数2996863034895 × 21290000 – 1和2996863034895 × 21290000 + 1。这不禁让人猜想数字里面可能包括无限对孪生质数，即是无论我们找到的孪生质数有多大，都总有一对会比它们大。
这猜想本身其实也没什么好说的，但是比较有趣的是近年在这个问题上作出突破所用的方法。大家对数学研究的印象可能是一位数学家坐在房间里独自与问题搏斗，一直把自己锁在房间里直至找到解决方法为止。对孪生质数提出突破性理论的两位数学家 — 张益唐和James MAYNARD的确都是分别独自进行研究，可是另一方面的突破则来自一个公开的大型合作计划 — 博学者计划（Polymath Project）。
张益唐的人生故事绝对值得拍成一部电影。他在中国出生，文革期间和母亲被送到劳改营，使其教育中断长达八年 [2]。他之后到了美国研究院修读博士学位，可惜最后和导师不欢而散。毕业后，张益唐在学术界找不到工作，结果到处做着零零散散的工作，包括曾经在朋友开的Subway三文治店里做会计，直到1999年才在新罕布什尔大学里担任讲师 [2]。在他取得突破之前，几乎没有人听过他的名字，这使他具开创性的研究结果更为受人注目。此前，以及在其他数学家建基于他的结果作出更多发现之前，数学家并不知道两个质数之间的差距（或间隙）最大可以有多大。不少人当然尝试过着手解决这个问题，但是基本上都没有进展。在2013年4月，张益唐出版了他的研究结果，论文里指出在间隙小于7000万之下存在着无限多个质数。 7000万是个很大的数字，但至少是一个有限的数字。这个消息令数学界为之一振，在掀起了一轮关注后，计划「博学者八号难题（Polymath8）」正式诞生。
博学者计划是一个由数学家Timothy GOWERS创立的大型数学合作计划，最初在2009年于其网志展开 [3]，建立计划的时候会订出研究的目标，然后由不同数学家在公开的网上讨论中发表自己相关的研究结果，同心协力地使研究一步一步向目标推进。每个计划通常都由一位数学家作为主办人，并以自己的网志作为计划的讨论区，任何对问题有见解的人都可以在讨论中贡献自己的想法 [4]，成果通常都以笔名D H J Polymath投稿到学术期刊。 Polymath8是这个系列的第八个计划，由可能是世界上最有名的数学家陶哲轩在2013年6月展开 [5]，计划的目标是希望能够对张益唐的研究结果加以改善，得出一个更准确的质数间隙。不少数学家都参与了这次计划，当中喜讯一个接一个，间隙一天比一天减少，在2013年7月Polymath8暂时完结时已经降到4680 [6]。
更戏剧化的是，在同年11月，现时为牛津大学教授的James MAYNARD取得了新的突破。他当时只是刚完成博士课程不久，在完全没有和张益唐或博学者计划合作的情况下使用了一个截然不同的方法得出了600 这个最大间隙 [7]。如果Maynard能更早发表这个突破的话，登上报纸头条的一定会是他，毕竟600比7000万是一个更令人惊叹的上限数字。 Maynard的结果甚至比博学者计划的更为准确，因此计划的参与者开始把目光转移到Maynard的新方法，希望可以得到更大的突破，甚至一举解决孪生质数猜想的问题。
于是，他们决定延续上一个计划，展开Polymath8b。这次计划亦邀请得James MAYNARD参与，他们尝试合力把上限再次降低，可惜却遇到其他阻力。最后，虽然他们只能把上限再降低一点，但这已经算是十分鼓舞的成绩了。在张益唐发表结果后一年的2014年4月，上限数字止住了在246；在假设另一条关于质数分布的Elliott-Halberstam 猜想是正确的情况下，上限可以被降至6 （注二）[8, 9]。可是，如果要证明孪生质数猜想，我们要把上限降至2，因此我们必须发明新的方法才能使问题有所进展。
其实博学者计划一直是数学研究里面一个有趣的课题。由于这是任何人都能参与的开源（open-sourced）计划，因此一切突破都来得很快，进展速度与通常只涉及几个人的普通数学研究相比之下快得多。很多人曾经打过一个比喻，说如果普通研究是喝水杯里的水的话，那么博学者计划就好比尝试从消防喉里喝水，因为突破涌现的速度可谓前所未见。另一方面，也有一些人会因抗拒在公开讨论区发言而不愿意参与，因为参加者犯过的所有错误都会永久地被留在互联网上；也有人指计划进展速度之快令人不能花上更长的时间反覆思考和消化结果，放慢步伐也许反而能得来更多成果 [10]。但问题是，在这速食文化通行的互联网世纪，博学者计划会不会是数学研究未来的趋势呢？
这问题，也许要经过时间的洗礼才能解答。直到现时，博学者计划都在解决一些能够分拆成许多细小部分的数学问题，让参与者可以分工完成不同部分，再把结果整合。不过，孪生质数猜想的故事告诉了我们一件事：突破可以来自大相径庭的形式。从独自与问题搏斗数年的隐世数学家到大型数学智库的光速突破，都能带来各种各样的新发现。世界上还有很多数学问题等着大家去探索和解答，可能有朝一日，亲爱的读者，你将会是解决那些难题的其中一人呢！
如果你对以上的数论有兴趣，又学过一点大学数学的话，可以看一看陶哲轩的网志（但是他写的东西比较深，看不懂也不要紧！）： https://terrytao.wordpress.com/
博学者计划的创办人Timothy Gowers也有写网志，里面有不少比较容易看懂的内容：https://gowers.wordpress.com/
为问题带来重大突破的James MAYNARD也有在著名Youtube频道Numberphile上和主持讨论孪生质数猜想： https://youtu.be/QKHKD8bRAro
像以往一样，就以一道小小的挑战题完结本文，今次的问题与质数有关 [11]：
设n为大于或等于4的整数。
我们的目标是把数字1, 2, …, n 排成一个圆圈，令所有相邻的数字加起来都是一个质数。譬如n = 4的话，我们可以用(1, 2, 3, 4) 这个组合：
可是，如果n是单数的话，排列就会变得不可行。为什么？
（加分题：如果n + 1和n + 3为孪生质数，你可以就数字n 写出一个排列方法吗？）
答案︰http://sciencefocus.ust.hk/solution_020
注︰
- 猜想：还没有得到证明的数学论述；如果猜想得到证明就会变成定理。
- 题外话：相减之差为六的质数对在英文被称为「sexy primes（性感质数）」，就像孪生质数被称为「twin primes」一样，名字由来是因为「sex」在拉丁文中是代表「六」的前缀。在中文，「sexy primes」只是平平无其地被叫作「六质数」，并没有任何幽默感可言。
參考資料︰
- Caldwell, C. K. (2021). The Largest Known Primes -- A Summary. Retrieved from https://primes.utm.edu/largest.html
- Wilkinson, A. (2015, February 2). The Pursuit of Beauty. The New Yorker. Retrieved from https://www.newyorker.com/magazine/2015/02/02/pursuit-beauty
- Gowers, W. T. (2009, March 24). Can Polymath be scaled up [Web log post]? Retrieved from https://gowers.wordpress.com/2009/03/24/can-polymath-be-scaled-up/
- Kalai, G. (2021, January 12). Proposals for polymath projects. Retrieved from https://mathoverflow.net/questions/219638/proposals-for-polymath-projects
-
Tao, T. (2014). Polymath8 | What’s New [Web log post]. Retrieved from
作者︰
蔡茜珩
《科言》学生编辑
香港科技大学
设计︰
曾卓希
《科言》学生设计师
香港科技大学
2022年1月