一種強大的數學建模工具---相場方法

相場方法的思想來源可以追溯到Lord Rayleigh、Josiah Willard Gibbs 和 Van der Waals的研究。從那時起,它就成為了一種模擬和預測介觀尺度形態和微觀結構演變現象的強有力方法。這些現像在許多領域中都會產生,如生物學、材料科學、圖像處理、多相流體力學、化學和石油工程等。科學家們設計出各種各樣的相場模型,用於描述相分離和相變的過程。一般地,相場模型在每個相中取不同的數值(例如圖1中的+1和-1),在接口周圍有限寬度的薄層中,相值之間的變化是平滑的。


圖1:相場函數

能量泛函在相場方法中起著至關重要的作用。在相場方法中,相分離與相變過程是能量驅動的,其動力學系統可以看作是某個Helmholtz能量泛函的梯度流。 Helmholtz自由能泛函可以寫為接口能量和相內自由能兩部分能量之和。接口自由能是指儲存在接口層的能量,可以通過相函數(圖1中的 ϕ)來定義。正如預期的那樣,它依賴於接口層的寬度(圖1中的 ε)。另一方面,相內自由能通常是問題相關的,可能包括其他幾種類型的能量,如動能和勢能/梯度能。能量泛函的引入使得相場建模變得系統化。在實際應用中,相場建模的主要任務是建立Helmholtz自由能泛函和提供能量耗散機制的驅動力。

Allen-Cahn方程

(1)

和Cahn-Hilliard 方程

(2)

是兩個最著名的相場方程,它們分別是Helmholtz能量泛函

(3)

梯度流,其中 為接口能密度, 是相內自由能密度,為一種常用的雙阱勢能。 ????是小的正參數,用來衡量擴散接口層的寬度。

圖2: 能量耗散

相場模型的高效數值方法

在得到相場模型後,如何高效地求解相場模型成為一個至關緊要的問題。在數值模擬中,為了設計出高效的數值方法,必須考慮如下幾個重要的問題。首先,相場方程的一個固有性質是能量泛函隨時間遞減,即


這通常被稱為能量穩定性。為了在離散求解時保持梯度流結構,不僅要保證數值方法的準確性,還要保證離散格式的能量穩定性。這不是一個簡單的任務,特別是在構建時間高階離散格式的時候。在過去的十年中,人們發展了許多高效的能量穩定時間積分方法,並且把這些方法成功地應用於各種相場模擬之中。在離散求解時,保持與連續相場動力學相關的其他物理特徵(如Allen-Cahn方程相場變量的逐點一致有界性)也得到了廣泛的關注。對於相關數值分析方面的工作,讀者可以參考[2, 7]及其參考文獻。其次,為了刻畫薄接口層,必須使用遠小於接口層寬度ε的空間(和時間)網格尺寸來進行計算模擬(注意到ε遠遠小於1)。對於如此小的網格尺寸,會導致大規模的線性和非線性代數係統,求解這個代數係統需要耗費巨大的計算量。這一問題在空間均勻網格的三維情況中尤其突出。為了克服這一困難,可以採用空間自適應方法,只在接口層中使用細網格,而在遠離接口層處使用較粗的網格。考慮到相函數有一個漂亮的結構輪廓,即在遠離擴散界面的地方假設其為不同的值(接近常數),而在擴散接口層有一個大的梯度,因此使用自我調整網格是一個自然的選擇。最後,在相場方程的模擬中,通常需要較長的時間才能達到方程的穩態解,而在不同的時間階段,Helmholtz能量泛函的遞減速率可能會有很大不同。圖2給出了Cahn-Hilliard方程一個數值模擬中的離散能量的耗散過程。一個很自然的想法是當能量遞減速率快的時候使用較小的時間步長,否則使用較大的時間步長。文獻[5]給出了一種自我調整方法,在實踐中非常容易實現。自我調整時間步長由如下形式給出:


其中 為相場模型中定義的Helmholtz能量泛函。 ????是用來調節自我調整程度常數。預先設定的最小時間步長 強制給出自適應時間步長下界,避免時間步長過小。同樣地, 給出了時間步長的上界。

應用

模擬相場模型的時間演化過程有著許多重要的應用,如相變、微觀結構粗化和細胞運動等。根據Helmholtz自由能泛函的選擇不同,各種各樣的相場模型被構造出來,並用於模擬一些複雜的現象,如枝晶生長、合金凝固、多相流動、液晶和腫瘤生長等。其中,不少模型耦合了相場方程和其他物理模型,如Cahn-Hilliard-Navier-Stokes方程和Cahn-Hilliard微彈性模型。為了表徵相分離和相變的不確定性,隨機相場模型,如隨機Allen-Cahn方程和隨機Cahn-Hilliard方程,也成為了研究的熱點問題。圖3給出了在聚合物混合體系中大分子微球複合水凝膠在隨機力效應下的結構演化模擬。最近幾年,相場方法已成為圖像分割(“湖中老虎”和“攝影師”的圖像分割見圖4)和高維數據分類的有效方法。文獻[1]給了相關工作的一個綜述,讀者可以參考。

圖3:大分子微球複合水凝膠[3]

圖4:圖像分割[4]

總結

相場方法是求解接口問題的一種有效的數學方法。在實際應用中,可以通過構造不同的Helmholtz自由能泛函來建立相應的相場模型。電腦模擬在對相場模型的研究中起著非常重要的作用。雖然發展穩定、高效的數值格式來求解相場模型已得到了人們持續關注,但是相場模型的數值模擬仍舊是具有挑戰性的課題,特別是在高維問題模擬中,因為涉及的計算量非常巨大,困難變得尤其突出。事實上,極端尺度上的相場模擬已經被用來測試世界領先的高性能電腦的計算能力,如出現在Gordon Bell獎競賽中的[5] (2011 Gordon Bell獎得主)和[8](2016年Gordon Bell獎入圍,報告了迄今為止規模最大的3D相場模擬,在當時世界上最快的超級電腦上達到了每秒40千萬億次浮點運算,使用了超過3000億個空間網格點,並利用了超過1000萬個核)。隨著相場建模在越來越多的應用領域得到推廣和應用,對其發展和使用高效的數值算法和求解器,如自我調整網格方法,自我調整時間步長策略和並行計算技術,已成為迫切需要。

參考文獻


  1. Bertozzi A. L. and Flenner A. Diffuse interface models on graphs for classification of high dimensional data. SIAM Review, 2016, 58: 293-328.
  2. Du Q and Feng X. The phase field method for geometric moving interfaces and their numerical approximations, in Geometric Partial Differential Equations, Handbook of Numerical Analysis, 2020, 21: 425-508.
  3. Li X, Qiao Z and Zhang H. A second-order convex splitting scheme for a Cahn-Hilliard equation with variable interfacial parameters. J. Comput. Math., 2017, 35: 693-710.
  4. Liu C, Qiao Z and Zhang Q. Efficient numerical methods of the Allen-Cahn intensity fitting model for image segmentation. In preparation, 2020.
  5. Takashi S, Takayuki A, Tomohiro T, Akinori Y, Akira N, Toshio E, Naoya M, Satoshi M, and Malcolm C. Peta-scale phase-field simulation for dendritic solidification on the Tsubame 2.0 supercomputer. In Proceedings of 2011 International Conference for High Performance Computing, Networking, Storage and Analysis (SC ’11). Article No. 3, 2011.
  6. Tang T and Qiao Z. Efficient numerical methods for phase-field equations (in Chinese). Sci. Sin. Math., 2020, 50: 775-794.
  7. Qiao Z, Zhang Z and Tang T. An adaptive time-stepping strategy for the molecular beam epitaxy models. SIAM J Sci Comput., 2011, 33: 1395-1414.
  8. Zhang J, Zhou C, Wang Y, Ju L, Du Q, Chi X, Xu D, Chen D, Liu Y, and Liu Z. Extreme-scale phase field simulations of coarsening dynamics on the Sunway TaihuLight supercomputer. In Proceedings of the International Conference for High Performance Computing, Networking, Storage and Analysis, page 4. IEEE Press, 2016.

作者:
香港理工大學應用數學系教授喬中華教授