質數,是指在大於1的自然數中,除了1和該數自身外,無法被其他自然數整除的數。我們在日常生活中所用到的數學大多是加減乘除四則基本運算。所以,質數看似和我們日常生活完全扯不上關係,但其實有輕易察覺的關係。

經典的數學難題
長久以來,數學家對質數的研究從未停歇。公元前的歐幾里得定理指出「質數的個數是無限的」。2015年邵逸夫數學獎得主亨里克.伊萬尼克喜愛鑽研質數的特性,也得到好的成果。伊萬尼克在篩法理論中的基礎工作和突破以及理論的應用在這個數學範籌中佔了重要地位。1997年,他與加拿大藉數學家約翰.費雷迪蘭德爾共同證明了有無限多個質數可以表達為X2+Y4,例如把1和2分別代入X和Y,得出12+24=17,而17是一個質數。這麼嚴謹的結果在這之前普遍被認為完全找不到的。二人的研究為篩法理論的應用帶來突破,更為及後的質數研究奠定基礎,包括中國數學家張益唐先生在質數間隔的研究。

日常生活中的質數
大家或許都會帶有疑問:質數究竟和我們的日常生活到底有何關係?其實它已默默隱藏在我們的生活中。其實,質數是加密方法的基石。根據算術基本定理,每個大於1的自然數,要麼本身是一個質數,要麼可以寫為兩個或以上質數的積,我們稱之為質因數分解,相乘的質數稱為質因子。舉例說,60可被質因數分解並寫成2 x 2 x 3 x 5,而這些質因子除了可以更換排列次序之外,只有一種算式的寫法。質數在因數分解法中有一些特別的特性,其中一個特性就是,若我們已有一個很大的整數,要找出這個整數的質因子排列方式是十分困難的。舉例說,若我們有一個7位的整數3,526,842,要質因數分解3,526,842並寫成2 x 3 x 11 x 53437是十分困難的,而2, 3, 11, 53437都是質數。1977年,羅納德.李維斯特、阿迪.薩莫爾和倫納德.阿德曼這三位來自麻省理工學院的科學家提出的「RSA加密法」,就是建基於質數的特性。「RSA加密法」已在訊息傳送加密和電子商業中被廣泛使用。例如我們日常會接觸到的網上銀行等商業交易,都會用到「RSA加密法」。

RSA乃非對稱加密法的一種,使用者需要兩把鑰匙才可以將密文解密。所謂的兩把鑰匙,就是「公鑰」和「私鑰」。「公鑰」由發訊和收訊者共同持有,「私鑰」則只有收訊一方得知。RSA加密法的基本原理,是在發送信息時將信息原文以公鑰加密,收訊者收到密文後需以私鑰解密,才可看到訊息原文。非對稱加密法能確保只有發訊和收訊者看到訊息,即使訊息被中途截取,截取者都無法解開密文閱讀信息。其次,因兩把鑰匙的知悉者只有發訊和收訊者二人,故可確保訊息不會被他人偽冒。

截至2018年,量子電腦只能成功破解到768個位元的RSA密碼,但現時網絡普遍應用的密碼為1024位元。在一些重要情況中,密碼更可長達2048位元。基於保安需要,系統供應者亦會每隔數月就更改加密方式。因此,相信在可見將來,建基於質數特性的RSA加密法,仍會是最安全的信息加密方法。

大自然中的質數
除了在訊息加密的應用外,我們也可以在另一些有趣的範疇找到質數的痕跡。周期蟬,又稱質數蟬,是蟬的一種,他們的一生幾乎都是在地下度過,只有在生命即將終結的時候,他們才會從地下破土而出進行繁殖。他們的生命周期分別有7年、13年和17年,有趣的是這三個數字都是質數。事實上,在2020年的夏天,一群周期蟬17年後在美國部分地方走出地面完成交配過程。對於周期蟬的質數生命周期,科學家雖然沒有一個明確的結論,有部分科學家認為是與周期蟬為避開牠們的獵食者有關。擁有質數生命周期的蟬以若蟲方式存活在地下數年會大大減少遭遇天敵的機會。此外,同步出現數百萬計的周期蟬,也可以減少們被全數吃光的可能性。

直到現在,質數在數學界依然是一個很有趣的課題,未來可能會有更多有關質數特性的發現而衍生更多不同的理論。