你要在下午一时至四时完成科目一至四的功课。如果你每小时完成一份就能准时完成所有功课，对或错？
如果是五月一日至四日呢？如果每天做一份，你能及时跟功课说再见吗？
这些问题背后引伸出更多问题 [1]：为甚么小时跟日子的算法会有所不同？我们应怎样数起？学校教的知识应用起来永远不会像想像中简单 — 显浅如数算事物也是如此。
要搞清楚这一连串的问题，我们先要回到幼稚园。我们学会如何从一、二、三……数算物件，亦学会这个数算过程让我们知道物件的数量 — 不论是铅笔、房子或是日子。为了简化事情，我们为物件标上数字并以此代替数算：六月的日子被标上数字1至30，顺理成章地六月就有30天 [1]。
然后我们学习减法。老师拿著六枝铅笔，再把当中四枝逐枝取走，借此示范6 – 4 = 2。减法是算术运算的一种，指把物件数目改变的动作（「运算」），在上述例子即是取走铅笔的动作。现在我们考虑的是稍为不同的概念：两个数字之间的间距，这可不是数字本身！在学习数线之后，我们以由6到2之间的四个箭头表示6 – 4 = 2：
它们清楚表示减法考虑的是由2到6之间的四个「间距」，但这次运算其实「碰」到了五个数字：2、3、4、5、6。
四和五之间的分歧就是栅栏错误（fencepost error；注一）了。假设在前往幼稚园的路上你经过一道八米长的篱笆，当中每两米竖立了一道篱杆 [2]，那么篱杆的总数是多少？你可能不加思索便用除法计算出那里有四道篱杆，但在首尾各竖了篱杆的正常篱笆中，篱杆的数目应该是五道。（你确定那是正常的篱笆吗？让我们稍后回到这个问题。）
错误出于哪里？问题中有两样东西是你可以数算的：篱杆之间篱笆的数目，以及篱杆的数目。以除法运算时，你把篱笆的总长度（八米）除以每段篱笆的长度，那会得出篱笆有多少段这个数目，但问题问的是篱杆数目而不是篱笆，意味著解决这些问题时我们必须考虑要数算的是物件还是间距的数目 [1]。
一旦能分辨出篱笆和篱杆，就很容易发现日常生活中关于数算的习惯其实充斥著怪诞之处。在乐理中，一个三度是指相距三个音的音程：C-D-E是一个三度，E-F-G也是 [2]，可是把它们结合时你会得到C-G，一个五度。换言之，两个三度得出一个五度；这就像用两道篱笆驳成一道更长的篱笆，数算之下会乍见多出一条「E柱」。问题的症结在于三度和五度理应是指两个音之间的距离，但却以当中有多少个音来命名，即是数算的其实是篱杆而不是篱笆 [3]。
同样地，篱笆有时也会伪装成篱杆。庆祝生日时你想纪念的其实是出生以后活了多少年这个事实 [2, 3]，甚至从日常用语中也能看出端倪：在你庆祝的第一个生日那时你刚好一岁。岁数是篱笆，但我们庆祝的是生日，是篱杆。
在原来的问题中，你要完成四份功课，而你要做的是把四份功课分配在四个时段内完成，所以要考虑的是问题中的篱笆。在问题的用字上，下午一时、二时……四时等以小时计的实际上是时间的标记（篱杆），而五月一日、二日……四日的日子则是时间的间距（篱笆）[4]；前者会给出三小时的间距，后者则会给出四天的间距。因此你临急抱佛脚的「赶功课大计」只能在后者行得通，在前者却会碰得一脸灰。
这也带出另一个问题，就是究竟你是由零开始数还是由一数起 [3]。我们都知道「一楼」在不同国家分别可以指地下或是地下上面的一层；你有十只手指，但不少人会忘记如果比手势的话你也可以由零的手势比起，这样便能数算11样物件 [3]，但这些大多都只是语言上的习惯。如果你想想，把一列篱笆逐段标记成 #1、#2……后到底应该如何标记当中的篱杆，那就更有趣了，因为其中一道篱杆少不免要被标记为 #0。（如果你把篱笆想成岁数，篱杆想成生日，那其实与上面生日的例子同出一辙，当中你出生那天正是你的「零岁生日」。）这就是为甚么很多关于篱杆和篱笆的问题使人困惑的根源了。因此，如果你再看一次上面关于八米篱笆的问题，你会发现是否应该由零数起取决于你想数的是篱笆还是篱杆。数算篱笆很容易，数算篱杆就需要你在前面加上那个额外的零 — 零的手势、零楼（地下或「G楼」）、零岁生日 — 并在总数加上一 [1]。
因此理解问题的背景非常重要：你要数算的是物件数目还是间距，篱杆还是篱笆？此外你要处理的篱笆是哪一种？最后留下一个问题给你想想：假设幼稚园的八米篱笆两端原来各自连著墙壁而不需要篱杆，又或是篱笆围成一个圆圈而当中没有缺口，那么，现在又需要多少道篱杆呢？
注︰
- 栅栏错误：英文「fencepost error」中「fencepost」指的是篱杆，而中文较常见的翻译「栅栏错误」却把重点放于篱笆。
参考资料：
- Azad, K. (2009, April 28). Better Explained: Learning How to Count (Avoiding the Fencepost Problem). Retrieved from https://betterexplained.com/articles/learning-how-to-count-avoiding-the-fencepost-problem/
- Propp, J. (2017, November 16). Mathematical Enchantments: Impaled on a fencepost. Retrieved from https://mathenchant.wordpress.com/2017/11/16/impaled-on-a-fencepost/
- Parker, M. (2019). Humble Pi: A Comedy of Maths Errors. London, UK: Allen Lane.
- Lamb, E. (2016, May 10). Roots of Unity: How to Confuse a Traveling Mathematician. Retrieved from https://blogs.scientificamerican.com/roots-of-unity/how-to-confuse-a-traveling-mathematician/
作者︰ 胡适之 《科言》学生编辑 香港科技大学
设计︰ Samantha Ng 《科言》学生设计师 香港科技大学
翻译： 刘劭行 《科言》总编辑 香港科技a大学
2023年6月